Teil V
Logistisch e Prozesse
15 Bestandsmanagement
15.1 Ursachen der Unsicherheit
Ursachen der Unsiche rheit
Nachfragemenge
Wiederbeschaffungszeit einer Lagerbestellung
Lagerzugangsmenge
Aufzeichnungen
Modellvorstellung ein es Lager
Wiederbeschaffungszeit
Nachfrager
Lieferant
Lagerbestands-
entwicklung
Deterministische Ausgangss ituation
Wiederbeschaffungszeit: 1 Tag
agliche Nachfragemenge: 10 ME
76
Zuf¨allige Nachfrageschwankungen I
Wiederbeschaffungszeit: 1 Tag
Normalverteilte Nachfragemenge: 10 ME
µ = 1 0
σ = 2
Zuf¨allige Nachfrageschwankungen II
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
f(x)
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
P{Nachfrage pro Tag
x}
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
x
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
x
Die Wahrschein-
lichkeit dafür,
daß die Nachfrage
pro Tag größer als 14
ist, beträgt 0.0228
Zuf¨allige Schwankungen der Wiederbeschaffungszeit
Wiederbeschaffungszeit 1 2 3
P {L = } 0.6 0.3 0.1
Nachfragemenge y
10 20 30
P {Y = y} 0.6 0.3 0.1
Nachfragemenge in der Wiederbe schaffungszeit
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
123456
Wiederbeschaffungszeit (Tage)
Nachfragemenge
pro Tag
Wahrscheinlichkeit
77
We itere Ursachen der Unsicherheit
Zuf¨allige Schwankungen der Liefermenge
Ungenaue Bestandsf¨uhrung
Lagerhaltungspolitiken I
Zeitpunkt der Bestellung
r Bestellintervall
s Bestellpunkt
Bestellmenge
q feste Be stellmenge
S Bestellniveau
Lagerhaltungspolitiken II
(s, q)-Politik: variabler Bestellzyklus und konstante B estellmenge
(r, S)-Politik: konstanter Bestellzyklus und variable Bestellmenge
(s, S)-Politik: variabler Bestellzyklus und variable Bestellmeng e
15.2 (s, q)-Politik mit kontinuierlicher Lager¨uberwachung
(s,q)-Politik
Lagerbestandsentwicklung
0
200
400
600
800
1000
1200
B
e
s
t
a
n
d
5 10 15 20 25
Bestellpunkt s
Bestellmenge q
Fehlbestand
Zeit
Wiederbeschaffungszeit
Disponibler
Bestand
Physischer
Bestand
78
(s,q)-Politik
Nachfragemenge in der Wiederbeschaffungszeit
E {Y } =
y
max
X
y=y
min
y · P {Y = y}
SB = s E{Y } Sicherheitsbestand
(s,q)-Politik
Leistungskriterien
α
p
-Servicegrad
α = P {Periodennachfragemenge
physischer Bestand am Periodenanfang}
β-Servicegrad
β =
Sofort ausgelieferte Nachfragemenge
Gesamtnachfrag e menge
(s,q)-Politik
Maximale Fehlmenge pro Periode
E {F
Y
}
Erwartungswert der Fehlmenge in einem Bestellzyklus
·
E {D}
q
mittlere Anzahl von Bestellzyklen pro Periode
(1 β) ·E {D}
Erwartungswert der
Periodennachfragemenge
(s,q)-Politik
Fehlmenge pro Zyklus
E {F
Y
} =
y
max
P
y=s+1
(y s)
Auspr¨agung der
Zufallsvariablen ”Fehlmenge”
· P {Y = y}
79
Bestellpunkt versus Erwartungswert der Fehlmenge
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
F
e
h
l
m
e
n
g
e
2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0
Bestellpunkt
(s, q)-Lagerhaltungspolitik
Entscheidungsproblem
Finde den minimalen Be stellpunkt
bei gegebener Bestellmenge
unter Ber¨ucksichtigung eine s angestre bten β-Servicegrades
(s,q)-Politik
Optimierungsmodell
Minimiere Z = s
u. B. d. R.
E {F
Y
(s)} (1 β) · q
opt
|
{z }
erlaubte Fehlmenge
(s,q)-Politik VI
80
-5 -4 -3 -2 -1 012345
0
0.1
0.2
0.3
0.4
σ=1
σ=1.5
σ=2
µ=1
(s,q)-Politik VII
-5 -4 -3 -2 -1 012345
0
0.25
0.5
0.75
1
σ=1
σ=1.5
σ=2
s=1
(s,q)-Politik
Normalverteilung
Transformation
Y N (µ
Y
, σ
Y
)
U N (0, 1 )
Optimierung
s
opt
= µ
Y
+ v
opt
·σ
Y
v
opt
ucktransformation
(s,q)-Politik
U =
Y µ
Y
σ
Y
E {F
Y
(s)} = E {F
U
(v)} · σ
Y
81
(s,q)-Politik
Erwartungswert der Fehlmenge
E {F
Y
(s)} (1 β) · q
opt
E {F
U
(v)}
(1 β) · q
opt
σ
Y
(s,q)-Politik
Fehlmenge (Standardnormalverteilung)
E {F
U
(v)} =
Z
v
(x v) · f(x) · dx = φ(v) v · [1 Φ(v)]
(s,q)-Politik
Bestellpunkt und Sicherheitsbestand
s
opt
= µ
Y
+ v
opt
·σ
Y
SB = v
opt
· σ
Y
(s,q)-Politik
Bestimmung des Sicherheitsfaktors
E {F
U
(v)}
(1 0.99) · 640
60
= 0.1 07
E{F
U
(v)}
v
0.103 0.8860
0.104 0.8807
0.105 0.8755
0.106 0.8702
0.107 0.8650 gesuchter Wert
0.108 0.8599
0.109 0.8548
0.110 0.8497
0.111 0.8447
82
(s,q)-Politik
v
opt
= min [v |E {F
U
(v)} 0.107 ] = 0.8650
s
opt
= 320 + 0.8650 · 60 = 371.9
SB = v
opt
· σ
Y
= 51.9
15.3 (r, S)-Politik
(r, S)-Politik
Lagerbestandsentwicklung
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
Bestand
t
0
t
0
+r
Physischer Bestand
Disponibler Bestand
Bestellniveau S
Bestellung A
Fehlbestand
t
0
+r+L
Wiederbeschaffungszeit L
Bestellung B
Bestellabstand r
(r, S)-Politik
Beziehungen zur (s, q)-Politik
r
opt
=
q
opt
E {D}
=
optimale Bestellmenge
mittlere Periodennachfragemenge
Parameter Risikozeitraum relevante Nachfrage
(s, q)-Politik s L Y
(r, S)-Politik
S r + L Z
(r, S)-Politik
Fehlmenge
SB = S E{Z}
E {F
Z
} ·
1
r
mittlere Anzahl von Bestellzyklen
pro Periode
erlaubte Fehlmenge
z
}| {
(1 β) · E {D}
83
(r, S)-Politik
E {F
Z
} =
z
max
X
z=S+1
(z S) · P {Z = z}
(r, S)-Politik
Entscheidungsproblem
Finde das minimale Bestellniveau
bei gegebenem Bestellzyklus und unter Ber ¨ucksichtigung stochastischer Nachfrage in der Wiederbeschaf-
fungszeit
(r, S)-Politik
Modellformulierung
Minimiere Z = S
u. B. d. R.
E {F
Z
(S)} (1 β) · E {D} · r
opt
durchschnittliche
Bestellmenge
(r, S)-Politik
E {F
U
(v)}
(1 β) · E {D} · r
opt
σ
Z
E {Z} = 4 · (20 + 5) = 100 ME
Var {Z} = (r
opt
+ L) · σ
2
D
= 25 · (1.2)
2
= 36 (ME)
2
σ
Z
=
36 = 6 ME
84
(r, S)-Politik
E {F
U
(v)}
(1 0.99) · 4 · 20
6
= 0.133
v
opt
= min [v |E {F
U
(v)} 0.133 ] = 0.7418
(r, S)-Politik
Bestimmung des Sicherheitsfaktors
E{F
U
(v)} v
0.130 0.7551
0.131 0.7506
0.132 0.7462
0.133 0.7418 gesuchter Wert
0.134 0.7375
0.135 0.7332
0.136 0.7289
0.137 0.7246
0.138 0.7203
0.139 0.7161
0.140 0.7119
(r, S)-Politik
Sicherheitsbestand
S
opt
= E {Z}+ v
opt
· σ
Z
= 10 0 + 0.74 18 ·6 = 104.45
SB = v
opt
· σ
Z
= 4.45
85