15.4 Bestandsoptimierung in Supply Chains
Optimierung d es Sicherheitsbestands
Wirkungszusammenh¨ange
Lieferant Lager Kunden
Szenario Bestand Lieferzeit Bestand Service niveau
0 konstant konstant konstant konstant
1 steigt sinkt konstant steigt
2 steigt sinkt sinkt konstant
3
sinkt steigt konstant sinkt
4 sinkt steigt steigt konstant
Mehrstufiges Logistik-System
One-Warehouse-N-Retailer-Modell
Fertigproduktlager
Regionallager
Produktion
(s, q)
(r = 1, S)
Nachfrage
. . .
(r = 1, S)
Wiederbeschaffungszeit = f (s)
Nachfrage
Optimierung d es Sicherheitsbestands
Beispiel
Bestellpunkt s 2000 1800 1675 1500 1000 500 100
Lagerkosten oben 1805 1621 1510 1362 981 662 452
Bestellniveau S 53 58 66 83 1 33 185 226
Lagerkosten unten 150 199 275 447 917 1320 15 85
Gesamtkosten 1955 1820 1785 1809 1898 1982 2037
Optimierung d es Sicherheitsbestands
Beispiel, Kost en funktionen
86
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
K
o
s
t
e
n
0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000
Bestellpunkt
Gesamtkosten
Lagerkosten oben
Lagerkosten unten
Optimierung d es Sicherheitsbestands
Beispiel, Lieferzeitverteilungen
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
W
a
h
r
s
c
h
e
i
n
l
i
c
h
k
e
i
t
,
P
{
W
=
w
}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Lieferzeit, w
s=2000
s=1000
s=1675
s=100
87
15.5 Stochastische dynamische Losgr¨oßenplanung
Silver-Meal-Verfahren
Kosten pro Periode, Produktion in τ, Bedarfsdeckung bis t
τ = 1 t = 3
l = 1 l = 2 l = 3
d
1
Produktion in τ d
2
d
3
Lagerbestand q
τ
d
1
q
τ
(d
1
+ d
2
) q
τ
(d
1
+ d
2
+ d
3
)
allgemein q
τ
l
P
j=τ
d
j
c
τ t
=
s + h ·
t
P
l=τ
q
τ
l
P
j=τ
d
j
!
t τ + 1
Silver-Meal-Verfahren
Anfan gsbestand in τ
Ber¨ucksichtigung des Anfangsbestands I
τ 1
:
c
τ t
=
s + h ·
t
P
l=τ
I
τ 1
+ q
τ
l
P
j=τ
d
j
!
t τ + 1
Achtung
bei deterministischer Nachfrage ist I
τ 1
= 0
bei stochastistischer Nachfrage ist der erwartete Anfangsbestand E{I
τ 1
} 6= 0
Silver-Meal-Verfahren bei stochastische Nachfrage
Physischer Bestand am Ende der Periode t
Der phy sische Besta nd I
p
t
ist nun eine Zufallsvariable, die von der Nachfrageentwicklung und der ku-
mulierten Produktionmenge von 1 bis t abh¨angt.
Kumulierte Nachfrage in den Perioden 1 bis t:
Y
(t)
=
t
X
i=1
D
i
Kumulierte Produktionsmenge in den Perio de n 1 bis t:
Q
(t)
=
t
X
i=1
q
i
88
Silver-Meal-Verfahren f¨ur stochastische Nachfrage
Physischer Bestand am Ende der Periode t
Physischer Bes tand:
Fehlbestand:
E{I
p
t
} = E{[Q
(t)
Y
(t)
]
+
} E{I
f
t
} = E{[Y
(t)
Q
(t)
]
+
}
Physischer Bes tand (nach einigen Umformungen):
E{I
p
t
} = Q
(t)
E{Y
(t)
} + E{I
f
t
}
Silver-Meal-Kriterium:
c
τ t
=
s + h ·
t
P
l=τ
E{I
p
t
}
t τ + 1
Silver-Meal-Verfahren f¨ur stochastische Nachfrage
Bestimmung der Losgr¨oße in τ : q
τ
Q
(τ 1)
ist bekannt
q
τ
wird so bestimmt, daß der Servicegrad im aktuellen Produktionszyklus (τ, t) erreicht wird, d. h.
Minimiere Q
(τ )
| (Fehlmenge im Zyklus (τ, t) (1 β
c
) · Y
(τ,t)
)
q
τ
= Q
(τ )
Q
(τ 1)
Silver-Meal-Verfahren f¨ur stochastische Nachfrage
Beispiel
t 1 2 3 4 5 6
E{D
t
} 20 80 160 85 120 100
σ
D
t
6 24 48 25.5 36 30
Silver-Meal-Verfahren f¨ur stochastische Nachfrage
Beispiel
τ = 1, t = 1 :
E{Y
(1)
} = 20; σ{Y
(1)
} = 6 kumulierte Nachfragemenge
Q
(1)
opt
(β
c
= 0.99) = 28.66 kumulierte Produktionsmenge
q
opt
11
= 28.66 Losgr¨oße = Q
(1)
opt
Q
(0)
E{I
f
1
} = Φ
1
(v =
28.6620
6
) · 6
= 0.0334 · 6 = 0.20 Fehlbestand am Ende der Periode 1
E{I
p
1
} = 28.66 20 + 0.20 = 8.86 physischer Bestand am Ende der Periode 1
C
11
=
500+8.86
1
= 508.86 erwartete Kosten pro Periode ur t = 1
89
Silver-Meal-Verfahren f¨ur stochastische Nachfrage
Beispiel
τ = 1, t = 2 :
E{Y
(2)
} = 100; σ{Y
(2)
} = 24.74 kumulierte Nachfragemenge
Q
(2)
opt
(β
c
= 0.99) = 133.52 kumulierte Produktionsmenge
q
opt
12
= 133.52 Losgr¨oße = Q
(2)
opt
Q
(0)
E{I
f
1
} = Φ
1
(v =
133.5220
6
) · 6 = 0 Fehlbestand am Ende der Periode 1
E{I
p
1
} = 133.52 20 + 0.0 = 113.52 physischer Lagerbestan d am Ende der Periode 1
E{I
f
2
} = Φ
1
(v =
133.52100
24.74
) · 24.74
= 0.0405 · 24.74 = 1.0 Fehlbestan d am Ende der Periode 2
Silver-Meal-Verfahren f¨ur stochastische Nachfrage
Beispiel
E{I
p
2
} = 133.52 100 + 1.0 = 34.52 physischer Lagerbestand am Ende der Periode 2
C
12
=
500+(113.52+34.52)
2
= 324.02 erwartete Kosten pro Periode ur t = 2
Abbruch
Die Erweiterung der Reichweite des Loses auf 3 Perioden f¨uhrt zu einem Anstieg des Silver-Meal-Kriteriums . Daher wird
das Los in Periode 1 fixiert.
Silver-Meal-Verfahren f¨ur stochastische Nachfrage
Beispiel
τ = 3, t = 3 :
E{Y
(3)
} = 260; σ{Y
(3)
} = 54 kumulierte Nachfragemenge
Q
(3)
opt
(β
c
= 0.99) = 340.72 kumulierte Produktionsmenge
q
opt
33
= 340.72 133.52 = 207.20 Losgr¨oße = Q
(3)
opt
Q
(2)
opt
E{I
f
3
} = Φ
1
(v =
340.72260
54
) · 54 = 1.6 Fehlbestand am Ende der Periode 3
E{I
p
3
} = 340.72 260 + 1.6 = 82.32 physischer Lagerbestand am Ende der Periode 3
C
33
=
500+82.32
1
= 582.32 erwartete Kosten pro Periode ur t = 3
Silver-Meal-Verfahren f¨ur stochastische Nachfrage VII
osung
τ t E{D
t
} C
τ t
q
opt
τ
Erwartete Kosten pro Zyklus
1 1 20 508.86 28.66
2 80 324.02 133.52 648.04
3 160 369.61 K ostenanstieg, Losgr¨oße xieren
3 3 160 582.32 207.20
4 85 374.24 291.99
5 120 362.20 417.47 1086.61
6 100 370.21 K ostenanstieg, Losgr¨oße xieren
6 6 100 639.86 152.87 639.86
90