9
Teil XVII
Operative Planung bei
Zentrenproduktion
45 Einf¨uhrung
Siehe auch Tempelmeier and Kuhn (1993), Abschnitt 5.
G¨unther and Tempelmeier ( 2016), Abschnitt 9.3
Stichworte Komplexit¨at des Problems; Daten; Entscheidungsvariablen; Zerlegung des Prob-
lems;
Flexibles Fertigungssystem
Spannstation
fahrerloses Transportsystem
zentraler
Palettenspeicher
Werkzeugmagazin
Werkzeug-
einstellung
Flexibles Fertigungssystem: Merkmale
geringe Umr¨ustzeitverluste
begrenzte Anzahl Werkst¨ucke
flexible Wege der Werkst¨ucke
274
begrenzte Palettenanzahl
Spannvorrichtungen
Einlastungsplanung
Verfügbarkeitsprüfung
Serienbildung
Systemrüstung
(Werkzeugmagaz ine,
Spannelemente)
Reihenfolgeplanung
Serienbildung
FFS
12345
Produktionsplanung und -steuerung
Auftrags-
bestand
Serien
Systemr¨ustung
275
2345
Serien
FFS
Aufträge
Arbeitsnge
Werkzeuge
Paletten
Spannvorrichtungen
a b c d e
f
1
Steuerung
Auftragsfreigabe
Ablaufsteuerung
-Arbeitsgang
-Arbeitsgang/Maschine
-Fahrzeuge
Betriebsmittel-
überwachung
Auftrags-
überwachung
46 Serienbildun g
46.1 Grundmodell
Annahmen
Auftragsmenge mit J (j = 1, 2, ..., J) Auft r¨agen
Auftrag j umfaßt n
j
identische Werkst¨ucke
Das FFS besteht aus M erg¨anzenden Maschinen.
Arbeitsplan
Bearbeitungszeit eines Werkst¨ucks des Auftrags j an Maschine m: b
jm
Werkzeuge; Gesamtwerkzeugmenge von T Werkzeugen
276
Werkzeugmagazinkapazit¨at: h
m
Das Entscheidungsmodell zur Serienbildung bei Einlastung statisch fester Serien wird nun
unter Ber¨ucksichtigung der Zielsetzung ”‘Minimiere die Serienanzahl” wie folgt beschrieben:
Modell SEF Grundmodell der Serienbildung I
Min Z
l
= L (21)
u. B. d. R.
L
X
l=1
x
jl
= 1 j = 1, 2, ..., J (22)
J
X
j=1
σ
jtm
· x
jl
J · y
tml
t = 1, 2, ..., T ; m = 1, 2, ..., M; l = 1, 2, ..., L (23)
T
X
t=1
σ
t
· y
tml
h
m
m = 1, 2, ..., M; l = 1, 2, ..., L (24)
x
jl
{0, 1} j = 1, 2, ..., J; l = 1, 2, ..., L (25)
y
tml
{0, 1} t = 1, 2, ..., T ; m = 1, 2, ..., M; l = 1, 2, ..., L (26)
Symbole
Daten
j Index der Auftr ¨age (j = 1, 2, ..., J)
l Index der Serien (l = 1, 2, ..., L)
m Index der Maschinen (m = 1, 2, ..., M)
t Index der Werkzeuge (t = 1, 2, ..., T )
h
m
Werkzeugmagazinkap azit¨at der Maschine m
σ
t
Anzahl der Werkzeugmagazinpl¨atze, die Werkzeug t ben¨otigt
σ
jtm
(
1 falls Auftrag j an Maschine m Werkzeug t ben¨otigt
0 sonst
Die Beziehung (21) beschreibt die Zielsetzung der Minimierung der Serienanzahl. Je
geringer die Anzahl der Serien ist, umso seltener wird eine Neubelegung der Werkzeug-
magazine an den Maschinen erforderlich. Je k¨urzer die Zykluszeit der Auftrag smenge ist,
umso eher steht das FFS wieder zur Bearbeitung weiterer Auftr¨age zur Verf¨ugung. Die
Nebenbedingungen (22) gew¨ahrleisten, daß jeder Auftrag j (j = 1, 2, ..., J) genau einer
Serie l zugeordnet wird (vollst¨andige Serienbildung). Die Nebenbedingungen (23) stellen
sicher, daß die jeweils ben¨o tigten Werkzeuge a n den Maschinen bereitgestellt werden. Das
begrenzte Fassungsverm¨ogen der Werkzeugmagazine an den Maschinen wird ¨uber die Be-
dingungen (24) abgebildet. Die Gleichungen (25) und (26) definieren die Wertebereiche
der Variablen.
277
Symbole
Variablen
L Anzahl der Serien
y
tml
(
1 falls Werkzeug t der Maschine m f¨ur die Serie l zugeordnet wird
0 sonst
x
jl
(
1 falls Auftrag j der Serie l zugeordnet wird
0 sonst
46.2 Das Modell von Hwang
Aufbauend auf der inversen Beziehung zwischen Seriengr¨oße und Serienanzahl bei gegebener
Anzahl von Auftr¨agen strebt Hwang die Minimierung der Serienanzahl durch Max-
imierung der Anzahl der Auftr¨age bzw. Werkst¨ucke in einer Serie an. Er formuliert das
folgende bin¨are lineare Modell, welches er in einem iterativen Verfahren mehrfach auf
eine schrittweise sich verkleinernde Restmenge jeweils noch nicht eingeplanter Auft r ¨age
J
0
solange anwendet, bis alle Auftr¨age einer Serie zugeordnet worden sind.
Modell Hwang
Max Z
l
=
X
j∈J
0
x
jl
| {z }
Anzahl der Auftrage in
der aktuell betrachteten
Serie
(27)
u. B. d. R.
X
j∈J
0
σ
jtm
· x
jl
J · y
tm
t = 1, 2, ..., T ; m = 1, 2, ..., M (28)
T
X
t=1
σ
tm
· y
tm
h
m
m = 1, 2, ..., M (29)
x
jl
= {0, 1} j J
0
(30)
y
tm
= {0, 1} t = 1, 2 , ..., T ; m = 1, 2, ..., M (31)
Das Modell SEFHWANG ahlt aus der Menge J
0
der zu Beginn einer Iteration noch
nicht eingeplanten Auftr¨age eine Teilmenge J
l
aus und faßt diese zu einer Seriel zusam-
men. Mit der Zielfunktion (27) wird die Anzahl der Auftr¨age in der aktuell betrachteten
Serie l maximiert. Die Nebenbedingungen (28) sorgen daf¨ur, daß die jeweils ben¨otigten
Werkzeuge an den Maschinen bereitgestellt werden. Falls ein Auftrag j in die Serie l
278
aufgenommen wird, der das Werkzeug t an Maschine m ben¨otigt, muß dieses Werkzeug
in das Werkzeugmagazin an der Maschine aufgenommen werden. Die Begrenzung des
Fassungsverm¨ogens der Werkzeugmagazine an den Maschinen wird ¨uber die Bedingun-
gen (29) abgebildet. Das Modell SEFHWANG wird im Rahmen des unten beschriebenen
Verfahrens mehrfach solange angewendet, bis die Menge der noch nicht einer Serie zuge-
ordneten Auftr¨age leer ist.
Symbole
Daten
j Index der Auftr ¨age (j = 1, 2, ..., J)
l Index der Serien (l = 1, 2, ..., L)
m Index der Maschinen (m = 1, 2, ..., M)
t Index der Werkzeuge (t = 1, 2, ..., T )
h
m
Werkzeugmagazinkap azit¨at der Maschine m)
J
0
Menge der Auftr¨age, die noch keiner Serie zugeordnet wurden
σ
tm
Anzahl der Werkzeugmagazinpl¨atze, die Werkzeug t an Maschine m
ben¨otigt)
σ
jtm
(
1 falls Auftrag j an Maschine m Werkzeug t ben¨otigt
0 sonst
Symbole
Variablen
y
tm
(
1 falls Werkzeug t der Maschine m zu geordnet wird
0 sonst
x
jl
(
1 falls Auftrag j der Serie l zugeordnet wird
0 sonst
Verfahren von Hwang
a) Initialisiere J
0
= Menge aller Auftr¨age
b) L ¨ose das Modell SEF-HWANG f¨ur die Auftragsmenge J
0
. Die Menge der Auftr¨ag e,
die der aktuellen Serie l zugeordnet wurden, ist J
l
.
c) Aktualisiere J
0
:= J
0
\J
l
. Falls die Menge J
0
nicht leer ist, gehe zu Schritt a).
Aufgrund der sukzessiven Vorgehensweise des Verfahrens HWANG besteht die Gefahr,
daß lediglich osungen geringer Qualit¨at gefunden werden, da Auftr¨age mit niedrigem
Werkzeugbedarf in den ersten Iterationen bevorzugt ausgew¨ahlt und einer Serie zugeord-
net werden, ahrend Auftr¨age mit hohem Werkzeugbedarf erst am Ende des Verfahrens
279
eingeplant werden. Im Falle eines dynamischen Auftragsankunftsprozesses kommen die
Auftr¨age mit großem Werkzeugbedarf unter bestimmten Umst¨anden ¨uberhaupt nicht zum
Zuge.
Zur Vera nschaulichung betrachten wir ein Beispiel. Wir betrachten eine Maschine, deren
Werkzeugmagazin eine Kapazit¨at von h
m
= 8 Werkzeugen hat. Es sind J = 10 Auftr¨age
einzuplanen. Insgesamt werden dabei T = 21 Werkzeuge ben¨otigt. Die folgende Tabelle
zeigt den Werkzeugbedarf der einzelnen Auftr¨age.
Beispiel
Werkzeugbedarfe der Auftr¨age
Werkzeug
Auftrag 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
1 X X X
2 X X X X
3 X X X X X X
4 X X X X
5 X X X X X
6 X X X X X X
7 X X X
8 X X X X X
9 X X
10 X X X X
Nach dem Verfahren von Hwang wird in der ers ten Iteration zun¨achst das Modell SEFH-
WANG unter Ber¨ucksichtigung aller Auftr¨age f ormuliert.
Die optimale osung dieses bin¨aren linearen Optimierungsproblems lautet: x
1
= 1, x
2
=
1, x
7
= 1, x
9
= 1. Daher wird die erste Serie aus den Auftr¨agen 1, 2, 7 und 9 gebildet.
Zur Vorbereitung der zweiten Iteration des Verfahrens werden diese Auftr¨age aus der
Menge der noch einzuplanenden Auftr¨age entfernt. Die optimale L¨osung des resultieren-
den bin¨aren Optimierungsproblems lautet: x
5
= 1, x
10
= 1. Die zweite Serie umfaßt
damit die Auftr¨age 5 und 10. Die in der dritten Iteration gebildete Serie umfaßt die
Auftr¨age 4 und 6. Die Serien 4 und 5 schließlich enthalten mit den Auftr¨agen 3 bzw. 8
jeweils nur noch einen Auftrag.
Die Struktur der auf diese Weise gebildeten Serien und die Nummern der jeweils durch
die Auft r¨age einer Serie ben¨otigten Werkzeuge sowie die daraus resultierende Belegung
der Pl¨atze des Werkzeugmagazins zeigt folgende Tabelle. Der ersten Serie werden die
Werkzeuge 6, 12, 15, 16, 20, 9, 14 und 10 zugeordnet. Ein Stern ”*” markiert, daß das
f¨ur den betrachteten Auftrag ben¨otigte Werkzeug bereits f¨ur einen anderen Auftrag in
das Werkzeugmagazin aufgenommen worden ist und daher kein zus¨atzlicher Maga zinplatz
ben¨otigt wird.
Verfahren von Hwang Beispiel II
os ung
280
Magazinplatz
1 2 3 4 5 6 7 8
Serie 1 Auf trag 2 6 12 15 16
Auftrag 7 * * 20
Auftrag 1 * 9 14
Auftrag 9 * 10
Serie 2 Auf trag 10 2 4 14 18
Auftrag 5 * 5 9 8 13
Serie 3 Auf trag 6 1 3 7 13 17 21
Auftrag 4 * * 6 19
Serie 4 Auf trag 3 5 6 11 12 17 20
Serie 5 Auf trag 8 2 8 13 16 21
* Werkzeug bereits vorhanden
47 Systemr¨ustung
47.1 Einf¨uhrung
Systemr¨ustung
Zielsetzungen
Minimierung der entscheidungsrelevanten Kosten
Minimierung der Abweichungen zwischen Plan- und Ist-Auslastung
Minimierung der maximalen Maschinenbelastung
Minimierung der Anzahl bereitzustellender Werkzeuge
Systemr¨ustung
Modelle
Modelle ohne Werkzeugrestriktionen,
Modelle mit vereinfachten Werkzeugrestriktionen und
Modelle mit Werkzeugrestriktionen unter Ber¨ucksichtigung gemeinsamer Werkzeugnutzung
Modelle mit einfacher Werkzeugbelegung und
Modelle mit mehrfacher Werkzeugbelegung
281
47.2 Keine Werkzeugrestriktionen
Im einfachsten Fall kann das Problem der Arbeitsgang/Maschinen-Zuordnung unter Ver-
nachl¨assigung der sich aus den begrenzten Werkzeugmagazinen ergebenden Restriktionen
als verallgemeinertes Zuordnungsproblem dargestellt werden. Kusiak formuliert ein de-
rartiges Modell f¨ur den Fall, daß die zeitliche Kapa zit¨at der Maschinen des FF-Systems
beschr¨ankt ist und daß durch die Zuordnung eines Arbeitsgangloses o zu einer Maschine
m variable K osten c
om
entstehen.
Modell AGMA-KUS1
Zuordnung von Arbeitsg¨angen zu Maschinen
Min Z =
O
X
o=1
M
X
m=1
c
om
· π
om
(32)
u. B. d. R.
O
X
o=1
b
om
· π
om
g
m
m = 12, ..., M (33)
M
X
m=1
π
om
= 1 o = 12, ..., O (34)
π
om
{0, 1} m = 1, 2, ..., M; o = 12, ..., O (35)
Symbole
m Index der Maschinen (m = 1, 2, ..., M)
o Index der Arbeitsganglose (o = 1, 2, ..., O)
b
om
Bearbeitungszeit des Arbeitsgangloses o an Maschine m
c
om
variable Kosten der Bearbeitung des Arbeitsgangloses o an Maschine m
g
m
zeitliche Kapazit¨at der Maschine m (Zeiteinheiten)
π
om
=
(
1 wenn Arbeitsganglos o an der Maschine m bearbeitet wird,
0 sonst.
Die Zielfunktion (32) beschreibt die mit einer Arbeitsgang/Maschi”-nen-Zuordnung ver-
bundenen Kosten. Die Nebenbedingungen (33) stellen sicher, daß die zeitliche Belastung
einer Maschine m durch die ihr zugeordneten Arbeitsganglose die im Planungszeitraum
verf¨ugbare zeitliche Kapazit¨at der Maschine nicht ¨uberschreitet. Die Gleichungen (34)
gew¨ahrleisten, daß jeder Arbeitsgang genau einer Maschine zugeordnet wird.
Zur osung verallgemeinerter Zuordnungsprobleme, die zur Gruppe der kombinatorischen
Probleme ahlen, existiert eine Reihe von exakten und heuristischen Verfahren. Bei
geringen Problemdimensionen kann das Modell AGMA-KUS1 jedoch auch mit Hilfe eines
Standard-Algorithmus zur bin¨ar en Optimierung gel¨ost werden. Betrachten wir Beispiel
282
mit 2 Maschinen und 8 Arbeitsganglosen, dessen Daten in Tabelle ?? zusammengestellt
sind. Bei gleichen Kapazit¨aten und Bearbeitungszeiten unterscheiden sich die beiden
Maschinen lediglich durch die variablen Kosten.
Beispiel zum Modell AGMA-KUS1
Kosten Bearbeitungszeit
o c
o1
c
o2
b
o1
b
o2
1 1 2 30 30
2 1 2 12 12
3 1 2 20 20
4 1 2 9 9
5 1 2 16 16
6 1 2 2 2
7 1 2 17 17
8 1 2 26 26
m Maschinenkapazit¨at g
m
1 80
2 80
osung
Maschine Arbeitsg¨ange Bearbeitungszeiten
1 2 12
3 20
4 9
5 16
6 2
7 17
genutzte Kapazit¨at 76
freie Kapazit¨at 4
2 1 30
8 26
genutzte Kapazit¨at 56
freie Kapazit¨at 24
Die praktische Anwendung des Modells AGMA-KUS1 wirft mehrere Probleme auf. So
sind die Ko sten der Zuordnung eines Arbeitsgangloses o zu jeder Maschine m, c
om
, zu
ermitteln. Die Bestimmung variabler Maschinennutzungsko sten in einem FF-System ist
jedoch i. d. R. ¨außerst schwierig. Die Gr¨oße com darf nur die direkt vo n der Zuordnung
eines Arbeitsgangs zu einer Maschine abh¨ang igen Kosten umfassen. In der industriellen
Praxis wird aufig mit Maschinenstundens¨atzen gerechnet, in denen b ereits proportional-
isierte Gemeinkosten enthalten sind. Diese Kostens¨atze sind f¨ur das Modell AGMA-KUS1
unbrauchbar. F ¨ur ein FF-System wird man i. a. feststellen, daß die entscheidungsrele-
vanten K osten com f¨ur alle ersetzenden Maschinen gleich sind. Dann sind aber auch
alle zul¨assigen osungen des Modells AGMA-KUS1 im Hinblick auf die Zielfunktion gle-
ich gut. Weiterhin muß f¨ur jede Maschine eine zeitliche Kapazit¨atsgrenze g
m
extern
vorgegeben werden. Dies setzt eine Planungsperiode bekannter ange voraus.
283
47.3 Vereinfachte Werkzeugrestriktionen
Vereinfachte Werkzeugrestriktionen
O
X
o=1
σ
o
· π
om
h
m
m = 1, 2, ..., M
Beispiel
Daten
Kosten Bearbeitungszeit Werkzeugbedarf
o c
o1
c
o2
b
o1
b
o2
σ
o
1 1 2 30 30 5
2 1 2 12 12 6
3 1 2 20 20 4
4 1 2 9 9 10
5 1 2 16 16 3
6 1 2 2 2 10
7 1 2 17 17 4
8 1 2 26 26 5
m Maschinenkapazit¨at g
m
Werkzeugmagazinkapazit¨at h
m
1 80 25
2 80 25
Beispiel
os ung
Maschine Arbeitsg¨ange Bearbeitungszeiten Werkzeuge
1 2 12 6
3 20 4
6 2 10
8 26 5
genutzte Kapazit¨at 60 25
freie Kapazit¨at 20 0
2 1 30 5
4 9 10
5 16 3
7 17 4
genutzte Kapazit¨at 72 22
freie Kapazit¨at 8 3
284
Eine unmittelbare Erweiterung des Modells AGMA-KUS1 entsteht, wenn wir die og-
lichkeit des R¨uckgriffs auf zus¨atzliche Werkzeugkassetten zulassen, die in einem zentralen
Werkzeug-Hintergrundmagazin lagern. In diesem Fall verf¨ugt jede Maschine ¨uber ein
maschinennahes Werkzeugmagazin (mit einer oder mehreren Werkzeugkassetten) mit be-
grenzter Kapazit¨at. Zus¨atzlich onnen ahrend der Bearbeitung unter Inkaufnahme von
Umr¨ustkosten Werkzeugkassetten aus dem Hintergrundmagazin ausgetauscht werden.
Ein Modell, das diesen Tatbestand erfaßt, wird von Kusiak formuliert. Kusiak sieht
zus¨atzlich die oglichkeit vor, daß die Werkst¨ucke eines Arbeitsgangloses mehreren Ma-
schinen zugewiesen werden (Lossplitting). Diese Option wird mit Hilfe von zwei Arten
von Zuordnungsvariablen modelliert. Die ganzzahligen Variablen u
om
definieren die
Anzahl der Werkst¨ucke des Arbeitsgangloses o, die an der Maschine m bear beitet werden
(maschinenbezogene Losgr¨oße). Die bin¨aren Variablen π
om
beschreiben, ob min-
destens ein Werkst¨uck eines Arbeitsgangloses einer Maschine zugeordnet wird oder nicht.
Die simultane Bear beitung mehrerer identischer Werkst¨ucke an unterschiedlichen Maschi-
nen ist nur oglich, wenn mehrere identische Werkzeugs¨atze an verschiedenen Maschinen
bereitgehalten werden.
Modell AGMA-KUS2
I
Min Z =
O
X
o=1
M
X
m=1
c
om
· u
om
+
M
X
m=1
c
m
· z
m
(36)
u. B. d. R.
M
X
m=1
u
om
= n
o
o = 1, 2, ..., O (37)
O
X
o=1
b
om
· u
om
g
m
m = 12, ..., M (38)
O
X
o=1
σ
m
· π
om
h
m
· z
m
m = 12, ..., M (39)
Modell AGMA-KUS2
II
u
om
n
o
· π
om
o = 12, ..., O; m = 1, 2, ..., M (40)
u
om
0 und ganzzahlig o = 12, ..., O; m = 1, 2, ..., M (41)
z
m
Z
m
und ganzzahlig m = 1, 2, ..., M (42)
π
om
{0, 1} m = 1, 2, ..., M; o = 12, ..., O (43)
285
Symbole
Daten
m Index der Maschinen (m = 1, 2, ..., M)
o Index der Arbeitsganglose (o = 1, 2, ..., O)
σ
o
Anzahl der Werkzeugmagazinpl¨atze, die f¨u r Arbeitsganglos o ben¨otigt
werden
b
om
Bearbeitungszeit des Arbeitsgangloses o an Maschine m
c
m
Umr¨ustkosten f¨ur ein Werkzeugmagazin an Maschine m
c
om
variable Kosten der Bearbeitung des Arbeitsgangloses o an Maschine m
g
m
zeitliche Kapazit¨at der Maschine m (Zeiteinheiten)
n
o
Losgr¨oße des Arbeitsgangloses o
Z
m
Anzahl der Werkzeugmagazine bzw. -kassetten an der Maschine m
Symbole
Variablen
π
om
=
(
1 wenn Arbeitsganglos o an der Maschine m bearbeitet wird,
0 sonst.
u
om
Anzahl der Werks t¨ucke des Arbeitsgangloses o, die an der Maschine m
bearbeitet werden (maschinenbezogene Losgr¨oße)
z
m
Anzahl der ben¨otigten Werkzeugmagazine bzw. -kassetten an Maschine
m
Die Zielfunktion ( 36) minimiert die Summe der von der Zuordnung von Arbeitsg¨angen
zu Maschinen der Arbeitsg¨ange zu den Maschinen abh¨ang igen Kosten einschl. der Um-
r¨ustkosten, die beim Wechseln der Werkzeugmagazine entstehen. Die Gleichungen ( 37)
gew¨ahrleisten, daß alle n
o
Werkst¨ucke eines Arbeitsgangloses bearbeitet, d. h. einer Mas-
chine zugeordnet werden. Die Nebenbedingungen (38) stellen sicher, daß die zeitlichen
Kapazit¨aten der Maschinen nicht ¨uberschritten werden. Die Bedingungen (39) beschr¨a n-
ken die Anzahl der Werkzeuge, die den Werkzeugmagazinen zugeordnet werden onnen
und definieren die Anzahl der notwendigen Werkzeugmagazinwechsel (z
m
). Auf der
linken Seite steht der Werkzeugbedarf an Maschine m, der ent steht, wenn mindestens
ein Werkst¨uck des Arbeitsgangloses o der Maschine m zugeordnet wird. Auf der rechten
Seite wird die Anzahl der verf¨ugbaren Werkzeugpl¨atze beschrieben. Ist z
m
> 1, dann
m¨ussen Werkzeugkassetten an der Maschine m ausgetauscht werden. Die Ungleichun-
gen (40) stellen die Beziehung zwischen den Z uordnungsvariablen π
om
(mindestens ein
Werkst¨uck des Arbeitsganglos o wird an der Maschine m bearbeitet) und der Variablen
uom (maschinenbezogene Losgr¨oße) her.
Zur osung des Modells schl¨agt Kusiak die Anwendung vo n Standard-Algorithmen der
linearen Optimierung (unter Vernachassigung der Ganzzahligkeitsbedingungen) vor. Die
nichtganzzahligen Variablen sollen anschließend auf- bzw. abgerundet werden.
286
47.4 Gemeinsame Werkzeugnutzung
In den bisher diskutierten Modellen zur Arbeitsgang/ Maschinen-Zuordnung wird angenom-
men, daß f¨ur jeden Arbeitsgang, der einer Maschine zugeordnet wird, jeweils ein eigener
Werkzeugsatz in dem Werkzeugmagazin bereitgestellt wird. Dabei bleibt unber¨ucksichtigt,
daß f¨ur unterschiedliche Arbeitsg¨ange teilweise die gleichen Werkzeuge ben¨otigt werden
und es daher oft ausreicht, jeweils nur ein Werkzeug eines Typs in einem Werkzeug-
magazin bereitzustellen.
Die gemeinsame Nutzung eines Werkzeugs durch mehrere Arbeitsganglose kann im Rah-
men der bislang dargestellten LP-Modelle durch die Einf¨uhrung einer weiteren Gruppe
von Bin¨arvariablen erfaßt werden. Bei Ber¨ucksichtigung des Ziels der Minimierung der
maximalen zeitlichen Maschinenbelastung entsteht dann folgendes Modell:
Modell AGMA-KU
Min Z = max
m
{g
m
} (44)
u. B. d. R.
O
X
o=1
b
om
· π
om
g
m
0 m = 1, 2, ..., M (45)
T
X
t=1
σ
t
· y
tm
h
m
m = 1, 2, ..., M (46)
O
X
o=1
σ
ot
· π
om
E · y
tm
t = 1, 2, ..., T ; m = 1, 2, ..., M (47)
M
X
m=1
π
om
= 1 o = 1, 2, ..., O (48)
π
om
{0, 1} m = 1, 2, ..., M; o = 12, ..., O (49)
y
tm
{0, 1} t = 1, 2, ..., T ; m = 1, 2, ..., M (50)
Symbole
Daten
m Index der Maschinen (m = 1, 2, ..., M)
o Index der Arbeitsganglose (o = 1, 2, ..., O)
σ
t
Anzahl der Werkzeugmagazinpl¨atze, die f¨ur Werkzeug t ben¨otigt
werden
b
om
Bearbeitungszeit des Arbeitsgangloses o an Maschine m
E große Zahl
σ
ot
=
(
1 wenn Arbeitsganglos o das Wer k zeug t ben¨otigt,
0 sonst.
287
Symbole
Variablen
π
om
=
(
1 wenn Arbeitsganglos o an der Maschine m bearbeitet wird,
0 sonst.
y
tm
=
(
1 wenn Werkzeug t der Maschine m zugeordnet wird,
0 sonst.
g
m
zeitliche Belastung der Maschine m
Die Zielfunktion ( 44) beschr eibt die maximale Maschinenbelastung an den Maschinen,
wobei die realisierten Belastungen durch Beziehung (45) definiert werden. Die Nebenbe-
dingungen (46) beschr¨anken die Anzahl der Werkzeuge, die den Werkzeugmagazinen
zugeordnet werden onnen. Wird Arbeitsganglos o der Maschine m zugewiesen, dann
gew¨ahrleisten die Ungleichungen (47), daß die Bin¨arvariablen y
tm
der zugeh¨origen Werk-
zeuge gleich 1 g esetzt werden und damit auch die notwendige Werkzeugmagazinbelegung
korrekt abgebildet wird. Ist die Varia ble y
tm
aufgrund der Zuordnung eines Arbeits-
gangsloses zu der Maschine gesetzt worden und damit das Werkzeug t an der Maschine
m vorhanden, dann onnen weitere Arbeitsganglose, die ebenfalls das Werkzeug t an
der Maschine m ben¨otigen, auf da s bereits zugeordnete Werkzeug ohne zus¨atzliche Be-
lastung des Werkzeugmagazins zugreifen. Die G leichungen (48) sorgen daf¨ur, daß jeder
Arbeitsgang genau einer Maschine zugeordnet wird.
288