Nachfrage im Risikozeitraum

Unter stochastischen Bedingungen ist die Nachfragemenge im Risikozeitraum von besonderem Interesse. Der Risikozeitraum setzt sich zusammen aus

  • dem Überwachungsintervall und

  • der Wiederbeschaffungszeit.

Innerhalb dieser Zeitspanne, die üblicherweise mehrere Perioden umfaßt, tritt stochastische Nachfrage auf, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Festlegung der Parameter einer Lagerpolitik bekannt sein muß. Wir gehen nun davon aus, daß die Nachfragemengen $D$ je Periode für das betrachtete Produkt Zufallsvariablen sind, die einer im Zeitablauf gleichbleibenden und periodenweise unabhängigen Wahrscheinlichkeitsverteilung (z.B. Normalverteilung, Gamma-Verteilung, diskrete empirische Verteilung) folgen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung bzw. ihre Parameter seien aus Aufzeichnungen über die Nachfrageentwicklung in der Vergangenheit geschätzt worden. Die empirische Analyse der Nachfrageentwicklung ist eine in der Praxis oft vernachlässigte, aber unverzichtbare Voraussetzung für die Anwendung einer Lagerhaltungspolitik.

Die Periodennachfragemengen werden, falls sie durch kontinuierliche Zufallsvariablen modelliert werden, durch ihre Dichtefunktion $f_{D}(d)$ und ihre Verteilungsfunktion $F_{D}(d)=P\{D\le d\}$ beschrieben. Im diskreten Fall sind Wahrscheinlichkeiten $P\{D=d, d=d_{\min },...,d_{\max }\}$ gegeben.

Auch die Wiederbeschaffungszeit $L$ kann als Zufallsvariable modelliert werden, wobei wir im folgenden davon ausgehen wollen, daß $L$ durch eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung $P\{L=\ell, \ell=\ell_{\min},\ldots,\ell_{\max} \}$ beschrieben wird.

Diese Diskretisierung der Zeitachse stimmt mit dem normalen Ablauf logistischer Prozesse in der betrieblichen Praxis überein. Wird z.B. eine Bestellung an einen Lieferanten ausgelöst, dann wird die bestellte Ware selbst unter günstigen Bedingungen (z.B. bei telefonischer Bestellannahme, Lieferfähigkeit des Lieferanten und unverzüglicher Auftragsabwicklung mit einer Wiederschaffungszeit $L=0$) i.d.R. erst zu Beginn des nächsten Tages angeliefert. Kontinuierliche, z.B. exponentialverteilte, Wiederbeschaffungszeiten dagegen sind in der Praxis eher selten anzutreffen.
Für einen gegebenen Wert $\ell$ der Wiederbeschaffungszeit ergibt sich die Nachfragemenge in der Wiederbeschaffungszeit, $Y$, als Summe der $\ell$ einzelnen Periodennachfragemengen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Summe kann in Abhängigkeit von der Verteilung der Periodennachfragemenge bestimmt werden. In der betrieblichen Praxis beobachtet man sehr unterschiedliche Nachfrageverteilungen. So folgt die Periodennachfrage bei Produkten mit sporadischem Bedarf oft einer Poisson-Verteilung. Auch die Gamma-Verteilung bietet eine flexible Möglichkeit zur Abbildung der Periodennachfrage.

Ist die Periodennachfragemenge $D$ mit dem Mittelwert $\mu_{D}$ und der Standardabweichung $\sigma_{D}$ normalverteilt, dann ist die Nachfragemenge in einer deterministischen Wiederbeschaffungszeit mit dem Mittelwert $\mu_{Y} = \mu_{D} \cdot \ell$ und der Standardabweichung $\sigma_{Y} = \sigma_{D}\cdot \sqrt{\ell}$ ebenfalls normalverteilt.

Ist auch die Wiederbeschaffungszeit stochastisch (das ist in der Praxis sehr oft der Fall), dann ist die Nachfragemenge im Risikozeitraum in vielen Fällen nicht mehr normalverteilt. Das folgende Bild zeigt die simulierte Verteilung der Nachfragemenge im Risikozeitraum, die sich ergibt, wenn die Periodennachfrage mit $\mu=10$ und $\sigma=3$ normalverteilt und die Wiederbeschaffungszeit asymmetrisch verteilt ist (siehe Tabelle):

A

B

Solche asymmetrischen Verteilungen sind die Regel, wenn der Lieferant ab Lager liefert und es hin und wieder zu Lieferunfähigkeit kommt, weil der Lagerbestand verbraucht ist.

Siehe auch ...

Literatur

Tempelmeier, H. (2015). Bestandsmanagement in Supply Chains. 5. Aufl., Norderstedt: Books on Demand.
Günther, H.-O. und Tempelmeier, H. (2016). Produktion und Logistik - Supply Chain and Operations Management. 12. Aufl., Norderstedt: Books on Demand.