Erwartungswert der Fehlmenge

Für die Bestimmung der optimalen Parameter einer Lagerhaltungspolitik ist der Erwartungswert der Fehlmenge von besonderer Bedeutung.

Ist die Nachfragemenge in der Wiederbeschaffungszeit $Y$ mit dem Mittelwert $\mu_{Y}$ und der Standardabweichung $\sigma_{Y}$ normalverteilt, dann kann man den Erwartungswert der Fehlmenge $F$ wie folgt bestimmen. Zunächst gilt

$E\{F\}=\displaystyle{\int_s^\infty} {\left( {y-s} \right)}\cdot f_Y\left( y \right)\cdot dy$

Jetzt standardisiert man $Y$, so daß man die N(0,1)-verteilte Zufallsvariable $U$ erhält:

$U=\frac{Y-\mu_Y}{\sigma_Y}$

Es gilt nun folgender Zusammenhang zwischen dem nicht-standardisierten und dem standardisierten Fehlmengenerwartungswert:

$E\left\{ {F_{ Y}\left( s \right)} \right\}= {E\left\{ {F_{ U }\left( v \right)} \right\}} \cdot \sigma _{ Y}$

Wir bezeichnen nun mit $\phi(x)$ die Dichtefunktion und mit $\Phi(x)$ die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung. Dann gilt:

$E\left\{F_{ U }\left( v \right)\right\} = \displaystyle{ \int_v^\infty } \left( {x-v} \right) \cdot f_X\left( x \right)\cdot dx$

bzw.

$E\left\{F_{ U }\left( v \right)\right\} = \phi(v) -v \cdot [1-\Phi(v)]$

Der Zusammenhang zwischen derm Erwartungswert der Fehlmenge und dem sog. Sicherheitsfaktor $v$ ist im folgenden Bild wiedergegeben:

Achtung: Falls die Nachfrage nicht normalverteilt ist, z.B. bei sporadischem Bedarf, dann ist die obige Formel für den Ertwartungswert der Fehlmenge nicht korrekt.

Siehe auch ...

Literatur

Günther, H.-O. und Tempelmeier, H. (2016). Produktion und Logistik - Supply Chain and Operations Management. 12. Aufl., Norderstedt: Books on Demand.
Tempelmeier, H. (2015). Bestandsmanagement in Supply Chains. 5. Aufl., Norderstedt: Books on Demand.